LEI DE HOOKE

Coeficiente de elasticidade - Lei de Hooke

1 - Conceitos relacionados

Elasticidade, constante elástica, coeficiente de elasticidade, histerese elástica, deformação elástica, lei de Hooke, módulo de Young.

2 – Objetivos

Compreender conceitos relacionados à elasticidade dos materiais; Verificar experimentalmente a lei de Hooke em molas helicoidais.

3 - Método utilizado

O alongamento de molas helicoidais e elásticos é obtido com a aplicação de uma força deformadora, utilizando massas aferidas.

4 - Equipamentos

1 suporte universal em forma de “Y”
1 haste metálica de 70 cm
2 haste metálica de 15 cm
2 mufas com ângulo de 90 o
1 régua de 40 cm (com furo)
2 molas helicoidais
1 jogo de massas aferidas
1 tira de borracha

5 - Fundamentos Teóricos

Quando forças externas atuam em um corpo sólido, a deformação resultante do corpo depende
tanto da extensão no material, da direção e o tipo de força aplicada. O material é chamado de elástico quando recupera a sua forma original, após a remoção da força externa aplicada sobre ele.

5.1 – Lei de Hooke

A mola helicoidal é um exemplo simples de um corpo material elástico, apresentando uma
deformação Δl muito grande a partir de seu comprimento de equilíbrio l0, quando sujeita a uma
força deformadora. A elongação (ou contração) Δl da mola apresenta uma dependência linear entre com a força aplicada. A força restauradora FR, exercida pela mola (que se opõe à força externa F) é proporcional à sua deformação linear Δl:

F k l R = − .Δ (1)

Esta relação é conhecida como a lei de Hooke, sendo a constante de proporcionalidade k chamada de constante elástica da mola, que é um parâmetro característico da mola helicoidal.

A ação de tração e compressão da mola helicoidal resulta em uma tensão de cisalhamento no
fio de aço. A deformação da mola é proporcional à tensão aplicada (1), sendo a constante de
proporcionalidade k uma característica da mola.

A tensão de cisalhamento no fio de aço da mola é uma tensão aplicada na direção transversal ao fio de aço. A relação entre a constante elástica devida a deformação longitudinal da mola e o módulo de elasticidade transversal μ (módulo de rigidez) do fio de aço é descrito pela relação:

K =4 N R3/μ r4

Sendo N o número de espiras, R o raio da mola, e r o raio do fio de aço da mola.

5.2 – Módulo de Young

A proporcionalidade entre a força restauradora e a elongação é válida para todos os outros materiais que estão em um estado de equilíbrio estável, no qual a energia potencial da força entre moléculas é aproximadamente parabólica ao redor de um ponto estável de equilíbrio.

Tomando como exemplo uma barra ou arame de um determinado material de comprimento l0 e seção transversal de corte A, para a qual é aplicada uma força deformadora de tração F, a lei de Hooke é expressa por:


Δ l / l0 = α ⋅ F / A

ε =α ⋅σ

Sendo α o coeficiente de elasticidade longitudinal (módulo de Young) do material da barra, 0 ε = Δl l a elongação relativa da barra, e σ = F A é a tensão aplicada sobre a barra.

A relação de proporcionalidade (3) só é válida até uma tensão de limite característica. Um diagrama esquemático da dependência da elongação em função da tensão aplicada em um arame de metal.

O limite de proporcionalidade (σP) geralmente se mantém abaixo do limite elástico (σE) sobre o qual a forma do corpo sólido apresenta mudança permanentemente de forma, devido aos rearranjos moleculares no interior do material. Neste intervalo de tensão o material é classificado como é plástico (pode sofrer deformações). Se a força deformadora excede o limite de solidez (σB), o material sólido começa a fluir, acontecendo a ruptura do corpo.

5.2 – Histerese elástica

Alguns materiais não seguem a lei de Hooke, mesmo submetidos às forças deformadoras pequenas.

A curva com quadrados vazados descreve o aumento gradativo da tensão, fazendo o caminho do
ponto O e até o ponto A. A curva com triângulos cheios apresenta a curva com a redução gradual da tensão, fazendo o caminho entre ponto A e ponto B.

A curva tracejada descreve o comportamento esperado de acordo com a lei de Hooke. A
dependência da elongação do elástico fazendo o caminho O-A e o caminho B-A não apresentam um comportamento linear, ou seja, não estão de acordo com a lei de Hooke. O grau de alongamento depende da história prévia da faixa de borracha. Na curva característica da faixa de borracha, o caminho OA (aumento gradual de tensão) não coincide com caminho AB (alívio gradual de tensão). Este comportamento é bem diferente observado em uma mola helicoidal, com forças aplicadas dentro do limite de elasticidade. O fenômeno observado na faixa deborracha é chamado de histerese elástica. Se a mesma faixa de borracha for forçada novamente, o alongamento Δl será agora significativamente maior que o obtido no caso de uma faixa de borracha nova.

A curva de histerese tem duas causas, primeiro, só parte da deformação devolve a forma original momentaneamente ao elástico, enquanto que o resto da deformação reverterá à forma após um período de várias horas. Este processo reversível é chamado pósefeito elástico, e nele o material reage viscoel asticamente.

Em segundo, uma vez excedido o limite elástico, os rearranjos interiores que acontecem
dentro do material resultam em mudanças permanentes da forma. Este processo é irreversível,
porque o trabalho realizado é convertido em calor.

6 - Montagem e procedimento experimental

Prática 1 – Mola helicoidal suave
1. Montar a mola helicoidal no suporte universal de
acordo com o diagrama apresentado na Figura 4;
2. Ajustar o valor de zero da escala de medida com
um ponto de referência na mola;
3. Acrescentar uma massa de valor conhecido no
porta massa e medir a elongação Δl da tira,
utilizando o procedimento descrito na Figura 1;
4. Repetir o procedimento anterior para 10 valores
de massa e elongação da mola;
5. Organizar os valores medidos em uma tabela, com colunas para o índice da medida,
o valor da massa e seu erro, o valor da elongação
e seu erro;

Prática 2 – Mola helicoidal rígida
1. Montar a mola helicoidal no suporte universal de
acordo com o diagrama apresentado na Figura 4;
2. Ajustar o valor de zero da escala de medida com
um ponto de referência na mola;
3. Acrescentar uma massa de valor conhecido no
porta massa e medir a elongação Δl da mola,
utilizando o procedimento descrito na Figura 1;
4. Repetir o procedimento anterior para 10 valores
de massa e elongação da mola;
5. Organizar os valores medidos em uma tabela
, com colunas para o índice da medida,
o valor da massa e seu erro, o valor da elongação
e seu erro;

Prática 3 – Tira de borracha
1. Montar a tira de borracha no suporte universal de
acordo com o diagrama apresentado na Figura 4;
2. Ajustar o valor de zero da escala de medida com
um ponto de referência na tira de borracha;
3. Acrescentar uma massa de valor conhecido no
porta massa e medir a elongação Δl da tira,
utilizando o procedimento descrito na Figura 1;
4. Repetir o procedimento anterior para 10 valores
de massa e elongação da mola;
5. Remover as massa, uma de cada vez, e medir a
elongação Δl da tira, utilizando o procedimento
descrito na Figura 1;
6. Organizar os valores medidos em uma tabela
, com colunas para o índice da
medida, o valor da massa e seu erro, o valor da
elongação E+ com o aumento da força e seu erro,
e o valor da elongação E- com a redução da força
e seu erro;

7 – Análise

1. A partir da Prática 1, construir a Tabela;
2. Acrescentar na Tabela, uma coluna para a força
de deformação F aplicada à mola e outra coluna
para a força restauradora FR;
3. Calcular a força de deformação em cada
elongação (F = m.g) e seu erro;
4. Calcular a força restauradora em cada elongação
e seu erro;
5. Qual é a diferença entre a força de deformação e
força restauradora associadas a esta Prática;
6. A partir da Tabela I, construir um gráfico de
F(Δl) (Gráfico 1) para a dependência da força
restauradora FR em função da elongação Δl da
mola, colocando o desvio de cada ponto na barra
de erro;
7. Ajustar os pontos experimentais com uma função
apropriada;
8. A partir dos coeficientes de ajuste, obter o valor
da constante elástica da mola, considerando a
relação (1);
9. Fazer o cálculo do coeficiente de elasticidade
transversal do fio de aço a partir da relação (2);
10. Fazer o cálculo do coeficiente de elasticidade
longitudinal da mola, de acordo com a equação
(3). Este resultado de tem significado físico?
11. A partir da Prática 2, construir a Tabela II;
12. Acrescentar na Tabela II, uma coluna para a
força de deformação F aplicada à mola e outra
para a força restauradora FR;
13. Calcular a força de deformação em cada
elongação (F = m.g) e seu erro;
14. Calcular a força restauradora em cada elongação
e seu erro;
15. A partir da Tabela II, construir um gráfico de
F(Δl) (Gráfico 2) para a dependência da força
restauradora FR em função da elongação Δl da
mola, colocando o desvio de cada ponto na barra
de erro;
16. Ajustar os pontos experimentais com uma função
apropriada;
17. A partir dos coeficientes de ajuste, obter o valor
da constante elástica da mola;
18. Fazer o cálculo do coeficiente de elasticidade
transversal do fio de aço a partir da relação (2);
19. Fazer o cálculo do coeficiente de elasticidade
longitudinal da mola, de acordo com a equação
(3). Este resultado de tem significado físico?
20. Avalie a elasticidade das duas molas em
comparando os valores da constante elástica e do
coeficiente de elasticidade transversal;
21. A partir da Prática 3, construir a Tabela III;
22. Acrescentar na Tabela III, uma coluna para a
força restauradora F+R, e outra coluna para a
força restauradora F-R;
23. Calcular a força restauradora em cada elongação
e seu erro;
24. Calcular a força restauradora F+R e F-R em cada
elongação e seu erro;
25. A partir da Tabela III, construir um gráfico de
F(Δl) (Gráfico 3) para a dependência da força
restauradora FR em função da elongação Δl do
elástico, colocando o desvio de cada ponto na
barra de erro;
26. Ajustar os pontos experimentais com uma função
apropriada;
27. A partir dos coeficientes de ajuste, obter o valor
da constante elástica do elástico;
28. Fazer o cálculo do coeficiente de elasticidade
longitudinal do elástico, de acordo com a
equação (3). Este resultado de tem significado
físico?

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A lei de Hooke consiste basicamente na consideração de que uma mola possui uma constante elástica k. Esta constante é obedecida até um certo limite, onde a deformação da mola em questão se torna permanente. Dentro do limite onde a lei de Hooke é válida, a mola pode ser comprimida ou elongada, retornando a uma mesma posição de equilíbrio.

Analiticamente, a lei de Hooke é dada pela equação:

F = -k.x

Neste caso, temos uma constante de proporcionalidade k e a variável independente x. A partir da equação pode se concluir que a força é negativa, ou seja, oposta a força aplicada. Segue que, quanto maior a elongação, maior é a intensidade desta força, oposta a força aplicada.



A lei de Hooke foi formulada em 1678 pelo cientista inglês Robert Hooke.
Esta lei diz que o alongamento experimentado por um material elástico (ao ser submetido à ação de uma força deformadora) é diretamente proporcional à força deformadora sempre que a referida força não ultrapasse determinado limite, designado de limite de elasticidade, o qual depende do material em questão.
O alongamento de material elástico representa-se por Dl e não constitui o comprimento do material elástico, mas sim a diferença entre o seu comprimento final e o seu comprimento inicial.
A lei de Hooke pode ser expressa mediante a fórmula: Dl = (F ´ l) / (A ´ E), onde Dl representa o alongamento experimentado, F a força aplicada, l o comprimento do material elástico e A a área da secção transversal e E o designado módulo de elasticidade ou módulo de Young.
Normalmente, a expressão matemática apresentada tem um aspeto diferente, pela introdução de duas novas grandezas. Em vez da força F utiliza-se a grandeza que se obtém quando se divide a força pela área da superfície sobre a qual atua (A). À expressão da força pela área chama-se tensão e representa-se pela letra s: s = F/A. Em vez do alongamento Dl, utiliza-se o alongamento relativo, que se obtém dividindo o alongamento pelo comprimento do material elástico. Esta variação relativa do alongamento denomina-se por dilatação e representa-se pela letra e: e = Dl/l.
Logo a expressão matemática anterior toma a fórmula mais simples: s = E ´ e.
Desta forma a tensão que se aplica é diretamente proporcional à dilatação desejada, sendo o módulo de elasticidade (E) a constante de proporcionalidade.
Quanto maior é o módulo de elasticidade, maiores tensões são necessárias para se alcançar a mesma dilatação. Por exemplo, o ferro possui um valor de módulo de elasticidade muito grande, enquanto que o da borracha é muito menor.

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Note que as linhas em vermelho são as linhas que representam a força aplicada. Para a elongação da mola, ela é positiva, enquanto que para a compressão da mola, ao longo do sentido negativo do eixo x, esta força assume valores negativos. Já a força de reação oferecida pela mola assume valores negativos para a elongação e valores positivos para a compressão. Isso é muito fácil de observar cotidianamente. É só colocar uma mola presa a um suporte, de modo que possa ser elongada ou comprimida na horizontal.



Note que quando é aplicada uma força no sentido positivo do eixo x, a mola reagirá aplicando uma força de igual intensidade, porém sentido contrário. No caso da compressão, a força aplicada é negativa, e a força de reação acaba por ser positiva, sempre contrária à força aplicada.

FONTE: http://www.infopedia.pt/$lei-de-hooke
FONTE: http://www.uel.br/cce/fisica/docentes/dari/d3_atividade8_23566021.pdf